Metoda charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu

Moduł ten poświęcony jest rozwiązywaniu równań cząstkowych liniowych rzędu pierwszego kiedy współczynniki są funkcjami,
a szukana funkcja zależy od dwóch zmiennych.
Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu

(1)

\( a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y)u=f(x,y), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc b, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc c, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) są funkcjami ciągłymi w obszarze \( \hskip 0.3pc D\subset \mathbb{R}^2. \hskip 0.3pc \) Załóżmy ponadto, że funkcje \( \hskip 0.3pc a \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc b \hskip 0.3pc \) nie zerują się równocześnie w żadnym punkcie zbioru \( \hskip 0.3pc D. \hskip 0.3pc \)
Celem znalezienia rozwiązań równania ( 1 ) dokonajmy zmiany zmiennych

(2)

\( \xi=\xi (x,y),\quad \eta= \eta (x,y),\qquad (x,y)\in D \)

tak dobranej, aby po zmianie zmiennych w równaniu ( 1 ) wyrugować jedną z pochodnych cząstkowych.
Załóżmy chwilowo, że taka zmiana zmiennych istnieje i ponadto, że z równań ( 2 ) możemy lokalnie wyznaczyć \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) jako funkcje zmiennych \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \eta, \hskip 0.3pc \) czyli

(3)

\( x=x(\xi ,\,\eta),\qquad y=y(\xi ,\,\eta), \)

przy czym tak określone funkcje \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) posiadają pochodne cząstkowe względem \( \hskip 0.3pc\xi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \eta. \hskip 0.3pc \)
Połóżmy

\( w(\xi ,\eta )=u\big(x(\xi , \eta ), y(\xi ,\eta )\big). \)

Wracając do zmiennych wyjściowych \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( u(x,y)=w\big(\xi (x,y) ,\eta (x,y)\big). \)

Stąd

\( u_x=w_{\xi}\xi_x +w_{\eta} \eta_x, \quad u_y=w_{\xi}\xi_y +w_{\eta} \eta_y. \)

Podstawiając ostatnie związki do równania ( 1 ) otrzymamy

\( (a\xi_x+b\xi_y)w_{\xi} + (a\eta_x+b\eta_y)w_{\eta} +cw=f. \)

Zauważmy, że postawiony cel osiągniemy, jeśli funkcje \( \hskip 0.3pc \eta \hskip 0.3pc \) dobierzemy tak, aby

(4)

\( a\eta_x + b\eta_y =0, \)

lub funkcje \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) tak aby

\( a\xi_x+b\xi_y=0. \)

Niech \( \hskip 0.3pc \eta \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równanie ( 4 ).
Połóżmy

\( \eta(x,\,y)=K, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) jest dowolną stałą.
Oczywiście \( \hskip 0.3pc d\eta=0, \hskip 0.3pc \) czyli

(5)

\( \eta_x dx + \eta_y dy =0 . \)

Jeśli \( \hskip 0.3pc \eta_y \neq 0,\hskip 0.3pc \) z warunków ( 4 ), ( 5 ) wynika, że

(6)

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac ba. \)

Równanie ( 6 ) nazywamy równaniem charakterystyk równania ( 1 ). Rodzinę krzywych \( \hskip 0.3pc \psi (x,y)=K, \hskip 0.3pc \) będącą rozwiązaniem ogólnym równania ( 6 ) nazywamy rodziną charakterystyk równania ( 1 ).
Niech \( \hskip 0.3pc \psi (x,y)=K \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem ogólnym równania ( 6 ).
Kładąc

\( \xi=x, \quad \eta = \psi (x,y), \)

równanie ( 1 ) sprowadzimy do równania

(7)

\( \widetilde a(\xi ,\eta )w_{\xi} + \widetilde c(\xi ,\eta )w =\widetilde f(\xi,\eta) \)

gdzie

\( \widetilde a(\xi ,\eta ) = a\big(x(\xi ,\eta) ,\,y(\xi ,\eta )\big)= a\big(\xi ,\,y(\xi ,\eta )\big), \)

\( \widetilde c(\xi ,\eta ) = c\big(x(\xi ,\eta) ,\,y(\xi ,\eta )\big)=c\big(\xi ,\,y(\xi ,\eta )\big), \)

\( \widetilde f(\xi ,\eta )= f\big(x(\xi ,\eta) ,\,y(\xi ,\eta )\big) = f\big(\xi ,\,y(\xi ,\eta )\big). \)

Zauważmy, że zależność ( 7 ) możemy traktować jako równanie różniczkowe zwyczajne względem zmiennej \( \hskip 0.3pc \xi, \hskip 0.3pc \) zależne od parametru \( \hskip 0.3pc \eta. \hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc w=w(\xi , \eta) \hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem tego równania. Połóżmy

\( u(x,y)=w\big(\xi (x,y),\eta (x,y)\big), \quad (x,y) \in D. \)

Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ).
Zauważmy jeszcze, że równania charakterystyk ( 6 ) możemy zapisać w postaci układu równań

(8)

\( \dfrac{dx}{dt}=a, \quad \dfrac{dy}{dt}=b. \)

Przykład 1:

Rozwiązać równanie

(9)

\( u_x+2xyu_y=u, \quad (x,y)\in \mathbb{R}^2, \)

z warunkiem początkowym

(10)

\( u(0,y)=y^3, \quad y\in \mathbb{R}. \)

Rozwiązując równanie charakterystyk

\( \dfrac{dy}{dx}=2xy, \)

otrzymamy

\( y=Ce^{x^2} \quad \textrm{lub}\quad ye^{-x^2}=C. \)

Kładąc

\( \xi =x,\quad \eta =ye^{-x^2}, \)

mamy

\( u_x=w_{\xi}-2xye^{-x^2}w_{\eta}, \quad u_y= e^{-x^2}w_{\eta}, \)

a po podstawieniu do równia wyjściowego

\( w_{\xi}=w. \)

Rozwiązując ostatnie równanie dostajemy

\( w=Ke^{\xi}. \)

Ponieważ stała \( \hskip 0.3pc K \hskip 0.3pc \) może zależeć od \( \hskip 0.3pc \eta, \hskip 0.3pc \) przyjmijmy \( \hskip 0.3pc K=F(\eta), \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej.
Zatem

\( w=F(\eta)e^{\xi}. \)

Zgodnie z poprzednimi uwagami funkcja

\( u(x,y)=F\big(ye^{-x^2}\big)e^x \)

jest rozwiązaniem równania ( 9 ).
Uwzględniając warunek początkowy ( 10 ) mamy

\( u(0,y)=F(y)=y^3. \)

Zatem rozwiązaniem problemu ( 9 ), ( 10 ) jest funkcja

\( u(x,y)=y^3e^{-3x^2}e^x = y^3e^{x-3x^2}. \)

Przykład 2:

Rozwiązać równanie

(11)

\( xu_x+2x^2u_y-u=x^2e^x. \)

Rozwiązując równanie charakterystyk

\( \dfrac {dy}{dx}=2x \)

otrzymamy \( \hskip 0.3pc y=x^2+C. \hskip 0.3pc \)
Zmiana zmiennych

\( \xi =x, \quad \eta =y-x^2 \)

prowadzi do równania

\( w_{\xi}-\dfrac 1{\xi}w=\xi e^{\xi}. \)

Rozwiązując to równanie otrzymamy

\( w=\xi e^{\xi}+\xi F(\eta), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracając do zmiennych wyjściowych znajdziemy całkę ogólną równania ( 11 ):

\( u(x,y)=xe^x+xF(y-x^2). \)

Załóżmy teraz, że szukamy rozwiązania równania ( 11 ), które na krzywej \( \hskip 0.3pc y=x^2 \hskip 0.3pc \) przyjmuje wartość \( \hskip 0.3pc \sin x, \hskip 0.3pc \) czyli

\( u(x,x^2)=xe^x+xF(0)= \sin x. \)

Oznacza to, że musimy znależć taką stałą \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) aby

\( xe^x+xC=\sin x. \)

Ponieważ jest to niemożliwe, postawiony problem nie posiada rozwiązania.
Załóżmy z kolei, że szukamy rozwiązania równania ( 11 ), które na krzywej \( \hskip 0.3pc y=x^2 \hskip 0.3pc \) przyjmuje wartość \( \hskip 0.3pc xe^x-4x, \hskip 0.3pc \) czyli

\( u(x,x^2)=xe^x+xF(0)=xe^x-4x. \)

Wynika stąd, że \( \hskip 0.3pc F(0)=-4. \hskip 0.3pc \) Założony warunek jest więc spełniony, jeśli \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jest dowolną funkcją różniczkowalną taką, że \( \hskip 0.3pc F(0)=-4. \hskip 0.3pc \) Oznacza to, że problem ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
Załóżmy wreście, że szukamy rozwiązania równania ( 11 ), które na krzywej \( \hskip 0.3pc y=x^2+x \hskip 0.3pc \)
przyjmuje wartość \( \hskip 0.3pc \cos x, \hskip 0.3pc \) czyli

\( u(x,x^2+x)=xe^x+xF(x)=\cos x. \)

Zauważmy, że warunek ten zachodzi, jeśli \( \hskip 0.3pc F(x)=\tfrac 1x \cos x- e^x. \hskip 0.3pc \)
Zatem szukane rozwiązanie ma postać

\( u(x,y)=xe^x+\frac x{y-x^2}\cos(y-x^2)-xe^{y-x^2}. \)

Warto odnotować, że krzywa \( \hskip 0.3pc y=x^2 \hskip 0.3pc \) jest charakterystyką, natomiast krzywa \( \hskip 0.3pc y=x^2+x \hskip 0.3pc \) nie jest charakterystyką równania ( 11 ).
Z tym faktem - jak zobaczymy póżniej związana jest kwestia jednoznaczności lub niejednoznaczności rozwiązań problemu początkowego.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Metoda charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu

Przykład 1:

Przykład 2: